1 / X + 1 / Y = 1 / N（阶乘） [英] 1/x + 1/y = 1/N(factorial)

问题描述

现在的问题是，如何解决1 / X + 1 / Y = 1 / N！ （N阶乘）。发现满足x和y为N个较大的值的值的数目。

The question is, how to solve 1/x + 1/y = 1/N! (N factorial). Find the number of values that satisfy x and y for large values of N.

我已经解决了N个相对较小的值的问题（任何N！那将放入一个长）。所以，我知道我解决了通过获取的所有除数的问题（N！）^ 2。但是，启动失败时（N！）^ 2不适合长。我也知道我能找到N个全部的约数！加起来因素N中的每个号码的所有主要因素！我所缺少的是我怎么可以使用所有的号码阶乘找到x和y的值。

I've solved the problem for relatively small values of N (any N! that'll fit into a long). So, I know I solve the problem by getting all the divisors of (N!)^2. But that starts failing when (N!)^2 fails to fit into a long. I also know I can find all the divisors of N! by adding up all the prime factors of each number factored in N!. What I am missing is how I can use all the numbers in the factorial to find the x and y values.

编辑：不找答案只是一个或两个提示

Not looking for the "answer" just a hint or two.

推荐答案

这是你的暗示。假设的 M = P 的<分> 1 ^{的 K 的<分> 1} ＆middot; P 的 ₂ ^{的 K 的 ₂} ＆middot; ...＆middot; P 的<子>的Ĵ的 ^{的 K 的<子>的Ĵ的} 。中的米每一个因素的将有从0到的 K 的<分> 1 要素的 P 的<分> 1 ，0至的 K 的 ₂ 的 P 的 ₂ 的因素，等等。因此，有（1 + K 的<分> 1 ）＆middot; （1 + K 的 ₂ ）＆middot; ...＆middot; （1 + K 的<子>的Ĵ的）可能的约数。

Here is your hint. Suppose that m = p₁^k₁ · p₂^k₂ · ... · p_j^k_j. Every factor of m will have from 0 to k₁ factors of p₁, 0 to k₂ factors of p₂, and so on. Thus there are (1 + k₁) · (1 + k₂) · ... · (1 + k_j) possible divisors.

所以，你需要找出的素因子分解的 N 的！ ² 。

So you need to figure out the prime factorization of n!².

请注意，这会算，例如， ¹ / <子> 6 = ¹ / <子> 8 + ¹ / <子> 24 作为一对不同的 ¹ / <子> 6 = ¹ / <子> 24 + ¹ / <子> 8 。如果顺序并不重要，加1除以2（2分频是因为一般2除数将导致相同的答案，与加1的不同之处在于除数的 N 的！线索到一对双用本身。）

Note, this will count, for instance, ¹⁄₆ = ¹⁄₈ + ¹⁄₂₄ as being a different pair from ¹⁄₆ = ¹⁄₂₄ + ¹⁄₈. If order does not matter, add 1 and divide by 2. (The divide by 2 is because typically 2 divisors will lead to the same answer, with the add 1 for the exception that the divisor n! leads to a pair that pairs with itself.)

这篇关于1 / X + 1 / Y = 1 / N（阶乘）的文章就介绍到这了，希望我们推荐的答案对大家有所帮助，也希望大家多多支持IT屋！