给定一个点，找到与直角相交的直线 [英] Find a line intersecting a known line at right angle, given a point

问题描述

这是基本的图形几何图形和/或触发器，我觉得这很愚蠢，但我不记得这是怎么回事。所以：

1. 我有一条由两点（x1，y1）和（x2，y2）定义的线。


2. 我有第三点（xp，yp），它位于别处。
   

我想计算点x'，y'），它们位于＃1中的某条线上，因此，当与＃2中的点相连接时，会创建一条垂直于第一条线的新线。

谢谢。

解决方案

通过考虑第一个泛型点（x，y） code>（x1，y1）至（x2，y2）：

  x = x1 + t *（x2  -  x1）
y = y1 + t *（y2  -  y1）
  

并计算从这个点到（code>（xp，yp） code $
$ b $ pre $ E =（x - xp）** 2 +（y - yp）** 2


代替 x 和<$ c的定义$ c> y 给出

  E =（x1 + t *（x2  -  x1） -  xp ）** 2 + 
（y1 + t *（y2  -  y1） -  yp）** 2 
  

然后找到这个距离的最小值变化 t 我们派生 E 相对于<$ c $ （x1 + t *（x2-x1）），其中c> t

  dE / dt = 2 * -  xp）*（x2  -  x1）+ 
 2 *（y1 + t *（y2  -  y1） -  yp）*（y2  -  y1）
  

< （x1 - xp）*（x2 - x1）+（x1 - xp）*（x2 - x1）+ （y1-yp）*（y2-y1）+
t *（（x2-x1）** 2 +（y1-y2）** 2））
pre>

寻找这个导数是零的时候，我们得到一个明确的方程： t

  t =（（xp  -  x1）*（x2  -  x1）+（yp  -  y1）*（y2  -  y1））/ 
 （x2  -  x1）** 2 +（y2  -  y1）** 2）
  

点可以在（x，y）。

的定义中使用 t 的值来计算。 b
$ b

使用向量表示法，这与Gareth提出的公式完全相同......

  t =< p  -  p1，p2  -  p1> /< p2-p1，p2-p1> 
  

其中< a，b> 表示点积操作 ax * bx + ay * by 。

还要注意，在n维空间。

This is basic graphics geometry and/or trig, and I feel dumb for asking it, but I can't remember how this goes. So:

1. I have a line defined by two points (x1, y1) and (x2, y2).
2. I have a third point (xp, yp) which lies somewhere else.

I want to compute the point (x', y') that lies somewhere along the line in #1, such that, when joined with the point from #2, creates a new perpendicular line to the first line.

Thanks.

解决方案

You can find that point by considering first a generic point (x, y) along the line from (x1, y1) to (x2, y2):

x = x1 + t*(x2 - x1)
y = y1 + t*(y2 - y1)

and the computing the (squared) distance from this point from (xp, yp)

E = (x - xp)**2 + (y - yp)**2

that substituting the definition of x and y gives

E = (x1 + t*(x2 - x1) - xp)**2 +
    (y1 + t*(y2 - y1) - yp)**2

then to find the minimum of this distance varying t we derive E with respect to t

dE/dt = 2*(x1 + t*(x2 - x1) - xp)*(x2 - x1) +
        2*(y1 + t*(y2 - y1) - yp)*(y2 - y1)

that after some computation gives

dE/dt = 2*((x1 - xp)*(x2 - x1) + (y1 - yp)*(y2 - y1) +
           t*((x2 - x1)**2 + (y1 - y2)**2))

looking for when this derivative is zero we get an explicit equation for t

t = ((xp - x1)*(x2 - x1) + (yp - y1)*(y2 - y1)) /
    ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)

so the final point can be computed using that value for t in the definition of (x, y).

Using vector notation this is exactly the same formula suggested by Gareth...

t = <p - p1, p2 - p1> / <p2 - p1, p2 - p1>

where the notation <a, b> represents the dot product operation ax*bx + ay*by.

Note also that the very same formula works in an n-dimensional space.

这篇关于给定一个点，找到与直角相交的直线的文章就介绍到这了，希望我们推荐的答案对大家有所帮助，也希望大家多多支持IT屋！