如何在2D中找到一条线与椭圆相交的点（C＃） [英] How to find a point where a line intersects an ellipse in 2D (C#)

问题描述

我需要找到一个点，其中一条线（它的原点是椭圆的中心）与2D中的椭圆相交...我可以很容易地找到圆上的一个点，因为我知道角度F和圆的半径（ R）：

  x = x0 + R * cosF 
y = y0 + R * sinF 
  code> 

然而，我无法想象我该如何处理椭圆......我知道它是尺寸（A& B），但是找到参数T的方法是什么？！

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ x $ x $ A $ cosT $ b $ = y0 + B * sinT


从我所了解的参数T（T角度） F角度（在某些情况下约为-15度），但我无法计算出它的计算结果!!!

如果有一种善良的灵魂，请帮助我解决这个问题......

解决方案

标准方程的椭圆，驻扎在0,0，是：

  1 =（x）^ 2 /（a）+（y）^ 2 /（b）
  

其中a是水平轴上直径的1/2，而b是垂直轴上直径的1/2。

你有一条线，假设一个方程：

  y =（m）（ x  -  x0）+ y0 
  

所以，让我们即插即用！

$ （b）
$ b

  1 =（x）^ 2 /（a）+（m（x  -  x0）+ y0）^ 2 / b 
 1 = x ^ 2 / a +（mx +（y0  -  mx0））^ 2 / b 
 
 1 = x ^ 2 / a +（m ^ 2 * x ^ 2 + 2mx *（y0-mx0）+（y0-mx0）^ 2）/ b 
 
 1 = x ^ 2 / a +（m ^ 2 x ^ 2）/ b +（2mx *（ （（x ^ 2 * b）/（a * b））+（（y0-mx0）+（y0 ^ 2-2y0mx0 + m ^ 2 * x0 ^ 2））/ b 
 
 1 （m ^ 2 * x ^ 2 * a）/（a * b））+（2mxy0-2m ^ 2xx0）/ b +（y0 ^ 2-2y0mx0 + m ^ 2 * x0 ^ 2）/ b 
 
 1 =（（bx ^ 2 + am ^ 2x ^ 2）/（ab））+（x *（2my0-2m ^ 2x0））/ b +（y0 ^ 2  -  2y0mx0 + m ^ 2 * x0 （b + a * m ^ 2）/（ab））+ x *（（2my0-2m ^ 2x0）/ b）+（ （（y0 ^ 2  -  2y0mx0 + m ^ 2 * x0 ^ 2）/ b） -  1）
  

最后一个方程遵循标准二次方程的形式。

因此，只需使用二次公式即可：

 （（ （（2my0-2m ^ 2x0）/ b）
和
（（（y0 ^ 2  -  2y0mx0 + m ^ 2 * b + a * m ^ 2）/（ab））
 x0 ^ 2）/ b） -  1）
  

得到交点处的X值;然后，将这些值插入您的原始方程式中以获得Y值。 祝您好运！

I need to find a point where a line (its origin is ellipse' center) intersects an ellipse in 2D... I can easily find a point on a circle, because I know an angle F and the circle' radius (R):

x = x0 + R * cosF
y = y0 + R * sinF

However I just can't figure how am I supposed to deal with an ellipse... I know it's dimensions (A & B), but what is the way of finding parameter T?!

x = x0 + A * cosT
y = y0 + B * sinT

From what I understand the parameter T (T angle) is not far from the F angle (approximately +-15 degrees in some cases), but I just can't figure how to calculate it!!!

If there is a kind hearted soul, please help me with this problem...

解决方案

The standard equation of an ellipse, stationed at 0,0, is:

1 = (x)^2 / (a)    +  (y)^2 / (b)

Where a is 1/2 the diameter on the horizontal axis, and b is 1/2 the diameter on the vertical axis.

you have a line, assuming an equation:

y = (m)(x - x0) + y0

So, let us plug-and-play!

1 = (x)^2 / (a)   +   (m(x - x0) + y0)^2 / (b)

1 = x^2 / a  +  (mx + (y0 - mx0))^2 / b

1 = x^2 / a  +  (m^2 * x^2 + 2mx*(y0 - mx0) + (y0 - mx0)^2) / b

1 = x^2 / a  + (m^2 x^2) / b + (2mx*(y0 - mx0) + (y0^2 - 2y0mx0 + m^2*x0^2)) / b

1 = ((x^2 * b) / (a * b)) + ((m^2 * x^2 * a) / (a * b)) + (2mxy0 - 2m^2xx0)/b + (y0^2 - 2y0mx0 + m^2*x0^2)/b

1 = ((bx^2 + am^2x^2)/(ab)) + (x*(2my0 - 2m^2x0))/b + (y0^2 - 2y0mx0 + m^2*x0^2)/b

0 = x^2*((b + a*m^2)/(ab)) + x*((2my0 - 2m^2x0)/b) + (((y0^2 - 2y0mx0 + m^2*x0^2)/b) - 1)

That last equation follows the form of a standard quadratic equation.

So just use the quadratic formula, with:

((b + a*m^2)/(ab))
((2my0 - 2m^2x0)/b)
and 
(((y0^2 - 2y0mx0 + m^2*x0^2)/b) - 1)

to get the X values at the intersections; Then, plug in those values into your original line equation to get the Y values.

Good luck!

这篇关于如何在2D中找到一条线与椭圆相交的点（C＃）的文章就介绍到这了，希望我们推荐的答案对大家有所帮助，也希望大家多多支持IT屋！