求幂的前n位 [英] first n digits of an exponentiation

问题描述

如何确定幂的前n个数字（A ^乙）。

 例如：一个= 12，B = 13安培; n = 4时，前4位是1069。
 

解决方案

计算一个^乙通过以下迭代：

的在 ₁ = A ¹ 的，结果
的在 ₂ = A ² 的，结果
的 ... 的结果
的在 _I = A ^我 的，结果
的 ... 的结果
的在<子>乙 = A ^乙 的

您的在<子> I + 1 = A _I ＆倍; A 的。 Calcluate各的在 _I 的不完全是。问题是，相对误差的在^乙 的小于的 N 的时间的在的相对误差

你想获得比的 10 ^-n 的减去最终的相对误差。因此，对每一个步骤相对误差可以是。在每一步删除最后一个数字。

例如， A = 2 的 B = 16 的 N = 1 的。最后的相对误差的 10 ^-n = 0.1 的。每一步相对误差的 0.1 / 16> 0.001 的。因此，3位是每一步非常重要。如果n = 2，则必须保存4位数。通用规则：保存[ N +登录 ₁₀ 乙的]数字在每一步

。

2（1），4（2），8（3），16（4），32（5），64（6），128（7），256（8），512（9），1024（ 10）RARR; 102，结果
204（11），408（12），816（13），1632（14）＆RARR; 163，326（15），652（16）。

答：6

该算法的 0的compexity（B）的。但它很容易改变它得到的 O（日志B）的

How do i determine the first n digits of an exponentiation (a^b).

eg: for a = 12, b = 13 & n = 4, the first 4 digits are 1069.

解决方案

Calculate a^b by the following iterations:

a₁ = a¹,
a₂ = a²,
...
a_i = aⁱ,
...
a_b = a^b

You have a_i+1 = a_i×a. Calcluate each a_i not exactly. The thing is that the relative error of a^b is less than n times relative error of a.
You want to get final relative error less than 10^-n. Thus relative error on each step may be . Remove last digits at each step.

For example, a=2, b=16, n=1. Final relative error is 10^-n = 0.1. Relative error on each step is 0.1/16 > 0.001. Thus 3 digits is important on each step. If n = 2, you must save 4 digits. Common rule: save [n+log₁₀ b] digits at each step.

2 (1), 4 (2), 8 (3), 16 (4), 32 (5), 64 (6), 128 (7), 256 (8), 512 (9), 1024 (10) → 102,
204 (11), 408 (12), 816 (13), 1632 (14) → 163, 326 (15), 652 (16).

Answer: 6.

This algorithm has a compexity of O(b). But it is easy to change it to get O(log b)

这篇关于求幂的前n位的文章就介绍到这了，希望我们推荐的答案对大家有所帮助，也希望大家多多支持IT屋！