使用SVD解决Ax = b有什么好处 [英] What is benefit to use SVD for solving Ax=b

问题描述

我有一个线性方程，例如

I have a linear equation such as

Ax=b

其中 A 是满秩矩阵，其大小 512x512 。 b 是 512x1 的向量。 x 是未知的向量。我想找到 x ，因此，我有一些选择这样做

where A is full rank matrix which its size is 512x512. b is a vector of 512x1. x is unknown vector. I want to find x, hence, I have some options for doing that

1.使用正常方式

inv(A)*b

2.使用SVD（奇异值分解）

2.Using SVD ( Singular value decomposition)

[U S V]=svd(A);

x = V*(diag(diag(S).^-1)*(U.'*b))

两种方法都给出相同的结果。那么，使用SVD解决 Ax = b 的好处是什么，特别是在 A 的情况下是2D矩阵？

Both methods give the same result. So, what is benefit of using SVD to solve Ax=b, especially in the case A is a 2D matrix?

推荐答案

欢迎来到数值方法的世界，让我成为你的向导。

Welcome to the world of numerical methods, let me be your guide.

你，作为这个世界上的新人想知道，为什么我会用这个SVD的东西做这个困难而不是那么常见的逆转？！我将在Matlab中尝试它！

You, as a new person in this world wonders, "Why would I do something this difficult with this SVD stuff instead of the so commonly known inverse?! Im going to try it in Matlab!"

并且没有找到答案。也就是说，因为你不是在看问题本身！当你有一个病态的矩阵时会出现问题。然后在数值上不可能计算逆。

And no answer was found. That is, because you are not looking at the problem itself! The problems arise when you have an ill-conditioned matrix. Then the computing of the inverse is not possible numerically.

例如：

A=[1    1  -1;
   1   -2   3;
   2   -1   2];

尝试使用 inv（A）。你会变得无限。
也就是说，因为矩阵的条件数非常高（ cond（ A））。

try to invert this matrix using inv(A). Youll get infinite. That is, because the condition number of the matrix is very high (cond(A)).

但是，如果你尝试使用SVD方法解决它（ b = [1; - 2; 3] ）你会得到一个结果。这仍然是一个热门的研究课题。解决具有病态数字的Ax = b系统。

However, if you try to solve it using SVD method (b=[1;-2;3]) you will get a result. This is still a hot research topic. Solving Ax=b systems with ill condition numbers.

正如@Stewie Griffin建议的那样，最好的方法是 mldivide ，因为它背后有其中的一些内容。

As @Stewie Griffin suggested, the best way to go is mldivide, as it does a couple of things behind it.

（是的，我的例子不是很好，因为X的唯一解决方案是INF，但有一种更好的例子在此YouTube视频中）

(yeah, my example is not very good because the only solution of X is INF, but there is a way better example in this youtube video)

这篇关于使用SVD解决Ax = b有什么好处的文章就介绍到这了，希望我们推荐的答案对大家有所帮助，也希望大家多多支持IT屋！