高效的算法来计算一个排序的数组的pariwise绝对金额的中位数 [英] Efficient algorithm to compute the median of pariwise absolute sums of a sorted array
问题描述
我试图想出一个快速的算法来计算
量 B [I] =配有| y_i + y_j |，1＆LT;！= J =＆LT; = N 时，
在 Y_1，...，y_n 已经排序（因此 B [] 是一个向量
相同长度的Y [] ）。
我假设 Y [] 中的所有元素都是唯一的
并且n为偶数。
所以，code以下计算 B [I] 的天真的（为O（n ** 2））的方式：
（我在研发写了这个为了方便，但我的语言无关）
N'LT; -30
a_fast＆LT; -b_slow＆LT; -rep（NA，N）
Y'LT; -sort（RNORM（N，100,1））
z，其中，-y
为（i的1：N）{
b_slow [1] - ; -median（ABS（Y [-i] +值Y [i]））
}
我有一个初步建议--below--做它 O（N）。
但它只能如果 Y [] 包含正数。
我的问题是：我应该如何改变快速算法
工作也当 Y [] 包含正面和
负数？这甚至可能？
修改
和下面的（暂定） O（N）办法code
（我在研发写了这个为了方便，但我的语言无关）
tryA＆LT; - 地板（1+（N-1）/ 2 + 1）
tryB＆其中; - 地板（1+（N-1）/ 2）
梅达＆LT; -y [tryA]
梅德布＆LT; -y [tryB]
为（i的1：（tryA-1））{
a_fast [1] - ; -medA + Y [i]于
}
对（我在tryA：N）{
a_fast [1] - ; -medB + Y [i]于
}
简单的例子：
简单的，说明性的例子。如果我们有长度为4的矢量
-3，-1，2，4
然后，例如对于i = 1时，3绝对成对和数是
4 1 1
和他们的中位数为1。
然后，例如对于i = 2，3绝对成对和数是
4 1 3
和他们的中位数为3。
下面是一个较长的例子有正反两方面的 Y [] ：
-1.27 -0.69 -0.56 -0.45 -0.23 0.07 0.13 0.46 1.56 1.72
和这里是我的新 b_slow [] （这是地面thruth，计算用简单的方式）：
1.20 0.92 1.00 1.01 0.79 0.53 0.56 0.53 1.33 1.49
但现在，我的新 a_fast [] 不匹配，没有更多的：
-1.20 -0.62 -0.49 -0.38 -0.16 -0.16 -0.10 0.23 1.33 1.49
修改
下面是我实现弗朗西斯的解决方案（最多的地步，我们有两个有序数组，中位数，其中容易计算）。我这样做是在研发停留在问题的精神。
不过，我似乎缺少一个修正系数为索引（在code以下的WW），所以低于code是有时关闭的一点点。这是因为，在上述定义，我们通过n-1个观测计算中位数（ⅰ！= j）条
N'LT; -100
Y'LT; -rnorm（N）
Y'LT; -sort（Y）
b将-rep（NA，N）
#Naive --O（N ** 2） - approch：
为（i的1：N）{
B〔1] - ; -median（ABS（Y [-i] + Y [I]））
}
K＆LT; -rep（NA，N）
I＆LT; -1
K表[1] - ; -min（na.omit（C（其中（Y + Y [1] - 0）[1]，N）））#binary搜索：O（日志（N）） -
为（在我2：N）{#O（N）
k_prov＆其中; -k [I-1]
而（Y [k_prov] + Y [i]于大于0＆安培;＆安培; k_prov大于0）k_prov＆所述; -k_prov -1-
K表[1] - ; -max（k_prov + 1,1）
#for（ⅰ在1：n）的{应当给出相同的结果。
＃k中[1] - ;华征信（Y +值Y [i]＆0）[1]
＃}
}
I＆LT; -sample（1：N，1）
X1＆LT; - Y [1：（K [I] -1）] - Y [I]
X2＆LT; -y [I] + Y [N：克[我]
×3其中-C（X1，X2）
图（X3）
WW＆其中; -ifelse（ⅰ＆所述; k [1] - 安培;我将N / 2，N / 2 + 1，N / 2）
排序（X3）[WW]＃这个可以有效地计算：O（日志（N））
B〔I]＃这个是为O（n ** 2）的结果。
下面是一个O（Nxln（N）XLN（N））解决方案：
对于所有i：
1）找到项目k，使得如 J＆LT; K＆LT; =＆GT; Y [J] + Y [1] - 0 （二分法，O（LN（N）））
K分隔两个的有序列表：1以上-y [I]，其他下面-y [I]的量，符号应改变以获得绝对（值Y [i] + Y [j]的）。 现在，我们正在寻找这些列表的中位数。
从这里，它是<公正问题href="http://stackoverflow.com/questions/4607945/how-to-find-the-kth-smallest-element-in-the-union-of-two-sorted-arrays/11698659#11698659">finding两个有序列表中值的，重复n次。
2）让我们挑选最大（M = ABS（Y [1] -y [I]）或M = ABS（Y [大小] -y [I]））和最小（约ķ这些列表的米）并重新启动二分法（O（LN（N））。让我们开始挑选中（M + M）/ 2 ......在任何阶段，让我们挑中间...
3）阶段这个大二分法：有多少项Y [J] + Y [I]高于（M + M）/ 2在第一个列表？再次二分法... O（LN（N））。有多少项目-y [J] -y [I]高于（M + M）/ 2在第二个列表？你猜怎么了 ？二分法......心这两个数字。如果它是上述（尺寸-1）/ 2，M =（M +米）/ 2。否则，M =（M +米）/ 2
4）在m = M停止！ B [I] =米;
我想有人会配有一个更好的解决办法...
编辑：我要感谢@ user189035为他联系到一个O（LN（N + M））算法来计算两个有序列表中值。 <一href="http://stackoverflow.com/questions/4607945/how-to-find-the-kth-smallest-element-in-the-union-of-two-sorted-arrays/8935157#8935157">How找到两排序数组的工会第k个最小元素？
再见，
I'm trying to come up with a fast algorithm to compute
the quantity b[i]= med |y_i+y_j|, 1<=j!=i<=n when
the y_1,...,y_n are sorted already (so b[] is a vector
of same length as y[]).
I will assume that all elements of y[] are unique
and that n is even.
So, the code below computes the b[i]'s the naive (O(n**2)) way:
(I wrote this in R for convenience, but I'm language agnostic)
n<-30
a_fast<-b_slow<-rep(NA,n)
y<-sort(rnorm(n,100,1))
z<-y
for(i in 1:n){
b_slow[i]<-median(abs(y[-i]+y[i]))
}
I have a tentative proposal --below-- for doing it in O(n).
But it only works if y[] contains positive numbers.
My question is: how should I change the fast algorithm
to also work when y[] contains both positive and
negative numbers? Is this even possible?
EDIT:
And the code below the (tentative) O(n) way
(I wrote this in R for convenience, but I'm language agnostic)
tryA<-floor(1+(n-1)/2+1)
tryB<-floor(1+(n-1)/2)
medA<-y[tryA]
medB<-y[tryB]
for(i in 1:(tryA-1)){
a_fast[i]<-medA+y[i]
}
for(i in tryA:n){
a_fast[i]<-medB+y[i]
}
Simple example:
Simple, illustrative example. If we have a vector of length 4
-3, -1, 2, 4
Then, for example for i=1, the 3 absolute pairwise sums are
4 1 1
and their median is 1.
Then, for example for i=2, the 3 absolute pairwise sums are
4 1 3
and their median is 3.
Here is a longer example with both positive and negative y[]:
-1.27 -0.69 -0.56 -0.45 -0.23 0.07 0.13 0.46 1.56 1.72
and here are my new b_slow[] (this is the ground thruth, computed the naive way):
1.20 0.92 1.00 1.01 0.79 0.53 0.56 0.53 1.33 1.49
but now, my new a_fast[] don't match no more:
-1.20 -0.62 -0.49 -0.38 -0.16 -0.16 -0.10 0.23 1.33 1.49
EDIT:
Here is my implementation of Francis's solution (up to the point where we have two sorted array, the median of which is easy to compute). I did it in R to stay in the spirit of the question.
Nonetheless, I seem to be missing a correction factor for the index (the ww in the code below) so the code below is sometimes off by a little bit. This is because in the definition above we compute the medians over n-1 observations (i!=j).
n<-100
y<-rnorm(n)
y<-sort(y)
b<-rep(NA,n)
#Naive --O(n**2)-- approch:
for(i in 1:n){
b[i]<-median(abs(y[-i]+y[i]))
}
k<-rep(NA,n)
i<-1
k[i]<-min(na.omit(c(which(y+y[i]>0)[1],n))) #binary search: O(log(n)) --
for(i in 2:n){ #O(n)
k_prov<-k[i-1]
while(y[k_prov]+y[i]>0 && k_prov>0) k_prov<-k_prov-1
k[i]<-max(k_prov+1,1)
#for(i in 1:n){ should give the same result.
# k[i]<-which(y+y[i]>0)[1]
#}
}
i<-sample(1:n,1)
x1<--y[1:(k[i]-1)]-y[i]
x2<-y[i]+y[n:k[i]]
x3<-c(x1,x2)
plot(x3)
ww<-ifelse(i<k[i] & i>n/2,n/2+1,n/2)
sort(x3)[ww] #this can be computed efficiently: O(log(n))
b[i] #this is the O(n**2) result.
Here is a O(Nxln(N)xln(N)) solution :
for all i :
1) find item k such as j<k <=> y[j]+y[i]<0 (dichotomy, O(ln(N)))
k separates two sorted lists : one above -y[i], the other below -y[i], for which the sign should be changed to get abs(y[i]+y[j]). Now, we are looking for the median of these lists.
From here, it is just the problem of finding the median of two sorted lists, repeated n times.
2)Let's pick the maximum (M=abs(y[1]-y[i]) or M=abs(y[size]-y[i])) and minimum (m around k) of these lists and restart a dichotomy (O(ln(N)). Let's start by picking the middle (M+m)/2...at any stage, let pick the middle...
3)Stage of this big dichotomy : How many items y[j]+y[i] are above (M+m)/2 in the first list ? Once again a dichotomy... O(ln(N)). How many items -y[j]-y[i] are above (M+m)/2 in the second list ? Guess what ? Dichotomy... Sum these two numbers. If it is above (size-1)/2, m=(M+m)/2. Otherwise M=(M+m)/2.
4)If m=M stop ! b[i]=m;
I guess somebody will come with a better solution...
Edit : I should thank @user189035 for his link to an O(ln(n+m)) algorithm to compute the median of two sorted lists. How to find the kth smallest element in the union of two sorted arrays?
Bye,
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