什么是牛顿迭代最小二乘法的时间复杂度？ [英] what is Newton-Raphson Square Method's time complexity?
问题描述
什么是牛顿迭代最小二乘法的时间复杂度？
What is the time complexity of the Newton-Raphson square method?
推荐答案
从<一个href="http://en.citizendium.org/wiki/Newton%27s_method#Computational_complexity">http://en.citizendium.org/wiki/Newton%27s_method#Computational_complexity:
使用牛顿方法的描述 以上，时间复杂 计算函数f的根（x）的 用n位precision，条件是 一个良好的初始近似而着称， 为O（（\ log n）的F（N）），其中F（n）是 计算函数f（x）/ F'（x）的\，具有成本 正位precision。
Using Newton's method as described above, the time complexity of calculating a root of a function f(x) with n-digit precision, provided that a good initial approximation is known, is O((\log n) F(n)) where F(n) is the cost of calculating f(x)/f'(x)\, with n-digit precision.
不过，这取决于你的precision要求，你可以做的更好：
However, depending on your precision requirements, you can do better:
如果F（X）可以与可变评价 precision，算法可以是 改进。由于 自我纠正牛顿的性质 方法，也就是说，它是不受 小扰动一旦 达到二次阶段 收敛，但是，仅需要 使用m-数位precision在一个步骤，其中 近似具有m位数字 准确性。因此，第一迭代 可以用precision进行 两倍高X_0的准确性， 第二次迭代以precision 四倍高，等等。如果 precision水平是适当的选择， 只有最后一次迭代，需要 函数f（x）/ F'（x）的\，以全评价 正位precision。条件是F（n）的 超线性增长，这是这种情况 找到的在实践中，成本 因此，根只有O（F（N）），具有 常数因子接近于1。
If f(x) can be evaluated with variable precision, the algorithm can be improved. Because of the "self-correcting" nature of Newton's method, meaning that it is unaffected by small perturbations once it has reached the stage of quadratic convergence, it is only necessary to use m-digit precision at a step where the approximation has m-digit accuracy. Hence, the first iteration can be performed with a precision twice as high as the accuracy of x_0, the second iteration with a precision four times as high, and so on. If the precision levels are chosen suitably, only the final iteration requires f(x)/f'(x)\, to be evaluated at full n-digit precision. Provided that F(n) grows superlinearly, which is the case in practice, the cost of finding a root is therefore only O(F(n)), with a constant factor close to unity.
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