线条与球体之间的交点 [英] Intersection between a line and a sphere

问题描述

我试图找出一个球体和一条线之间的交点，但老实说，我不知道如何去做。
任何人都可以帮我解决这个问题吗？

解决方案

（t）= x0 *（1-t）+ t * x1（t）：

  
 {y（t）= y0 *（1-t）+ t * y1 
 {z（t）= z0 *（1-t）+ t * z1 
  

当 t = 0 时，它将在一个终点（X0，Y0，Z0）。当 t = 1 时，它将位于另一个终点（x1，y1，z1） p>

在 t （其中（xc，yc，zc）是球体的中心）：

  f（t ）=（x（t）-xc）^ 2 +（y（t）-yc）^ 2 +（z（t）-zc）^ 2 
  

当 f（t）等于<$时解决 t c $ c> R ^ 2 （ R 是球体的半径）：

< （x（t）-xc）^ 2 +（y（t）-yc）^ 2 +（z（t）-zc）^ 2 = R ^ 2

A =（x0-xc）^ 2 +（y0-yc）^ 2 +（z0-zc）^ 2 - R ^ 2
B =（x1-xc）^ 2 +（y1 （x 0 -x 1）^ 2 +（y 0 -y 1）^ 2 +（z 0 -z 1）^ 2（z 1 -zc）^ 2-ΔC-R ^ 2

求解 A + B * t + C * t ^ 2 = 0 为 t 。这是一个正常的二次方程式。

您可以起床到两个解决方案。 t 介于0和1之间的任何解决方案都是有效的。

如果您获得<$ c

我假设你的意思是一个线段（两端-points）。如果你想要一整行（无限长），那么你可以选择沿线的两个点（不要太靠近），并使用它们。另外，让 t 成为任何实际值，而不仅仅是在0和1之间。

编辑：我修正了 B 的公式。我正在混合的迹象。谢谢M Katz，提到它没有用。

I'm trying to find the point of intersection between a sphere and a line but honestly, I don't have any idea of how to do so. Could anyone help me on this one ?

解决方案

Express the line as an function of t:

{ x(t) = x0*(1-t) + t*x1
{ y(t) = y0*(1-t) + t*y1
{ z(t) = z0*(1-t) + t*z1

When t = 0, it will be at one end-point (x0,y0,z0). When t = 1, it will be at the other end-point (x1,y1,z1).

Write a formula for the distance to the center of the sphere (squared) in t (where (xc,yc,zc) is the center of the sphere):

f(t) = (x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2

Solve for t when f(t) equals R^2 (R being the radius of the sphere):

(x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2 = R^2

A = (x0-xc)^2 + (y0-yc)^2 + (z0-zc)^2 - R^2
B = (x1-xc)^2 + (y1-yc)^2 + (z1-zc)^2 - A - C - R^2
C = (x0-x1)^2 + (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2

Solve A + B*t + C*t^2 = 0 for t. This is a normal quadratic equation.

You can get up to two solutions. Any solution where t lies between 0 and 1 are valid.

If you got a valid solution for t, plug it in the first equations to get the point of intersection.

I assumed you meant a line segment (two end-points). If you instead want a full line (infinite length), then you could pick two points along the line (not too close), and use them. Also let t be any real value, not just between 0 and 1.

Edit: I fixed the formula for B. I was mixing up the signs. Thanks M Katz, for mentioning that it didn't work.

这篇关于线条与球体之间的交点的文章就介绍到这了，希望我们推荐的答案对大家有所帮助，也希望大家多多支持IT屋！